Disturbed Universe

（原創）天體力學與三體運動 作者：萍蹤浪跡（王善欽） Newton為了解決天體力學問題而創立微積分（他稱為流數術），根據所謂的科普作家的渲染，他在鄉下躲避鼠疫時就通過觀察蘋果落地而發現了萬有引力定律了。有這麼“偉大”的科普著作，就難怪有那麼多民間科學家對自己的新理論信心十足了。 但是，實際上他當時根本就沒有辦法證明均勻球體對物體的引力位元就好像整個球的質量都集中在球的中心一樣。所以他直到四十多歲後證明出這個結論以後才發表了 《自然哲學的數學原理》，或者說，他直到這時候才真正發現了萬有引力定律。實際上，Hooke也已經猜到萬有引力是與距離平方成反比的，所以他和 Newton爭論優先權，Newton兩頭受氣，那邊一個德國的Leibnitz，這邊來個Hooke。但是Hooke失敗了，因為他只是思辨的，而 Newton卻完整計算證明了。其實，Hooke最大的不幸就是他不是中國人。如果他是中國人的話，那些愛國的教育者早就將他的事蹟編入小學和中學以及大學教科書，說：“我們中國明清之際的偉大科學家姓胡名克，字羅伯特，早已發現萬有引力定律，比著名科學家牛頓早了若干年。這是我們中國人智力優越的最好證明。”然後還會讓各地說書先生把胡克大師與英國科學家Newton爭奪應有榮譽的事蹟編出幾十個版本，通通分為九段，到天橋以及茶館去輪番演說。可惜了，Hooke不是中國人。所以中國的教育者當然覺得無關痛癢，就沒有必要大肆宣傳了。榮譽屬於Newton。 Newton在這部偉大的著作中已經開始討論三體運動，但是相當粗糙。據說Newton從不頭痛，但是思考月球運動時就會頭痛。因為月球運動過程中，即使不考慮其他行星的攝動，太陽的攝動也時無法避免的。這就是一個三體運動問題。 更一般的，我們考慮n體問題，可以得到n個二階向量微分方程。如果我們把這些向量方程都投影到三個坐標軸上去，則可獲得3n個二階微分方程，令y=dx/dt，則成為一個6n階微分方程組。 然後我們考慮n體問題的積分。所謂n體問題微分方程組的一個積分是指n體的座標、某些座標的導數（如y=dx/dt）、還可能有時間的一個函數關係式，這種關係式對於任意時刻均滿足微分方程組，並且依賴於一個任意參數。如果已知方程組的一個積分，則方程組降低一階。把質心運動定理應用到整個n體系統，因為n體系統沒有受到外力，其質心對慣性系作勻速直線運動。可以得到十個積分， Poincare已證明，沒有其他的單值解析積分．應用n體問題積分的經典結果，它們使方程組降到6n-10階。特別是二體問題降到二階，二體問題的二階微分方程組是完全可積的． 在實際的天體力學計算中，在研究n體系統(如太陽系)運動時，取n體當中的一個天體(例如太陽)作為坐標系的中心，坐標軸平行於慣性參考系．這樣，方程組降低六階．這等價于應用質心定理的結果． 通常將三體運動建立在二體運動的攝動基礎上，而對於二體運動，建立正則方程組是至關重要的。我們通常用Hamilton正則形式來求解問題。變數的變換是解天體力學方程最常用的方法之一。當方程寫成正則形式時是特別有效的。方法實質上是把變數變換成新變數，使得用這些新變數寫成的方程更為簡單。 如果新的方程組是正則的，則我們認為變數的變換是正則變換．如果成功地找到了 這種變換，我們能夠繼續這個過程，直到方程組容易解出為止。它直接涉及迴圈座標的尋找，因此實質上是在研究可積系統，但是正如Jocobi所說，好變數的尋找是很困難的。所以，我們只是將天體力學中的直接的困難轉化為間接的困難。 但是Euler和Lagrange時代沒有Hamilton形式的經典力學，他們是用自己的力學和數學理論解決問題的。Euler在他60歲時發現了三體運動的一個特殊解，在這個解之中，三個質點始終共線且繞質心做橢圓運動。但是晚年的Euler卻宣稱自己在月球運動理論中奮鬥四十多年的結果時失敗的。畢 竟月球運動所涉及的三體運動問題實在太一般化了。 Lagrange也在月球問題上奮鬥不息，他不僅得出了當年Euler關於三體運動的特殊解，而且得出了另外四個解，這些解被稱為“Lagrange秤動點”，最著名得一種情況是三個質點分佈於等邊三角形得頂點，在一定的初始條件下將始終保持在等邊三角形得頂點上。後來，天文學家發現Greek小行星群和 Trojan小行星群與木星和太陽正好處於等邊三角形頂點處，前呼後擁地繞太陽轉。這是一個驚人優美地驗證。我小學畢業那年地暑假就是因為看到這個結果而被數學地優美與天文學地壯觀說震懾與折服。 Lagrange得出了一他得名字命名得方程，由Lagrange方程的二階近似可以得到一個在天體力學中對於若干問題是有效的重要結果：一階久期項只是在第二次近似中才出現．當在運動中偏心率和傾角可能為零時，Lagrange方程失效，Lagrange在天體力學中的另一個重要成果就是研究了月球的天乎動的現象。