Disturbed Universe

由於公轉週期和自轉週期相同，月球始終以同一面對著地球。但是，由於地球的非球形引力位的攝動，月球會出現點頭和搖頭運動，即所謂的天平動，點頭的是緯度天平動，搖頭的是經度天平動。實際上在天體力學中，天平動是一種普通的現象，可以在太陽系許多天體 的運動中觀測到．著名的例子可以Trojan小行星為代表。 Trojan群小行星在軌道上處於木星前後60度。某些衛星如土衛七，也呈現出這種類型的運 動，同一個天體的兩顆衛星的平均運動表現為通約。土衛1和土衛7就是這種情況，其平均運動之比為3：4。在這兩顆衛星之間產生共振，質量較小的土衛七的運 動具有天平動的特徵。木星最主要的三顆衛星也產生同樣的共振和天平動，其平均運動之比為1：2：4。 共振使得這些衛星不可能組成任何配置圖形：如果其中兩 顆衛星在“合”的位置，則第三顆衛星就在“沖”的位置。木星的第四顆衛星沒有共振，但受到太陽和前三顆衛星的攝動。每當解包含有久期項，其週期在一定的初 始條件下趨向於無窮大，就出現天平動現象。天平動的週期可以是近地點的引數的用期，如上述的例子，但更常見的是共振的週期。攝動函數的二個引數的週期通約 時就產生共振。任何長週期項在鄰近的運動中可以引起共振，只要對應于完全共振的平衡點的位置是穩定的。天平動週期對於初始條件的微小變動是很敏感的。 而且，一般引起天平動的初條件的範圍很狹小，其邊界與漸近運動的區域接界。在天平動區域的周圍，運動的類型非常不一致，相鄰軌道的某些性質可以是不連續的 (例如，近日點的軌跡)。但是，這些運動可以用單擺的運動來比擬。在方程中，也顯示出這種相似性。根據初始條件(衝擊)，單擺的運動可以是擺動的(局期性 的往復)、漸近的(趨向於不穩定的上面的平衡位置)或旋轉型的(擺繞著軸轉)．初始條件很小的變化可以完全改變運動的狀態，這同樣適用於天體力學。研究這 些運動的特點是這門學科最困難的方面之一。經度天平動和緯度天平動合稱為“物理天平動”，因為它們是由真實的力學效應引起的。還有一種天平動是光學天平 動，是因為在地球的不同地方觀測後拼接的觀測圖比單獨一個地方觀測多出的部分。這樣，我們實際看到的月球就不是它表面的一半，而是61%。 Lagrange研究了天平動的動力學起因，並因此獲得大獎。 月球是最近的自然天體，其位置的觀測精度最高，因此，很自然地解決月球運動的問題的精細程度，為我們對任何天體所不能希望的。最近兩個世紀以來，許多數學家從各種途徑進行了嘗試，他們的工作已經對天體力學和這門科學主要的問題之——月球的運動向題(月球理論)作出了第一流的貢獻；其中，最傑出的是 Laplace、Poincare、Hansen、Delaunay、Hill和Brown。 月球繞地球運轉主要受太陽攝動，其他天體也引起一些攝動；它們的作用要弱得多。地球的扁形也有影響，但由於月地相距甚遠，其作用是很小的。事實上，月球所受到的實際攝動很好地近似於假設太陽是唯一的攝動體，而地球 繞太陽在一個不變的Kepler橢圓上運轉。在這些簡化條件下，月球運動的研究通稱為月球理論的主要問題。由行星引起的攝動稱為直接的行星攝動，而由於地 球受到行星的攝動使地球的軌道不是準確的橢圓，從達一事實所引起的月球運動的差異，稱為間接的行星攝動。間接的行星攝動比直接的行星攝動強，但比太陽的攝 動則弱得多。 為了用公式表示月球的運動，計算密切根數的變化，或者計算球座標的變化．這些變化被表為所謂月行差的週期項之和．其中一些月行差很早就知道了： Hippachus已經知道出差；Kepler已知二均差以及交點的逆行運動和近地點的前移，這兩種運動的週期和朔望一起決定了交食的迴圈。月行差是用變 化的週期旋轉的基本軌道不固定的變形它們是由攝動函數不同的項引起的。為了指定嚴密的月曆，許多天文觀測學家合天體力學家進行了Newton時代無法達到 的精度的觀測，最著名是Delaunay和Brown。 Delaunay於1860年和1867年發表了他的理論，代表了月球運動理論最廣泛的分析研究。他的目標是把月球的座標表示為Fourier級數的形式。在Delauney方法中，採取連續消去週期項的方法來計算等價於一種坐標系統的橢圓根數的攝 動。長期項只是在此過程的末尾才出現。這個方法實質上和Zeppel方法相司。事實上，Zeppel方法基本上是Delauney方法的改進和簡化。 Delauney用這種方法處理了230個以上的攝動因數項，給出月球的座標近400項，代表作為小參數的函數的這些項的有限展開式中總共一萬個以上的單項。現在，用數值代替這些參數足夠了。這些數值的改進只不過相當於個代換。但是，Delauney所忽略的項不是很小的，為了達到現代的觀測精度，至少要 用5倍的項進行同樣的計算。Delauney應用他的理論，從1859年開始制定月曆，湧十年時間完成，再用十年時間驗算，結果出來時，他51歲。他把自己一生中最重要的年華用在了這個學科上。1972年天文學家和電腦科學家把他的所有資料用電腦進行檢驗，只發現了三個小錯誤。 Delauney理論的主要困難之一是展開的級數收斂很慢，因此要計算很多項。Hill的建議(Brown進一步發展和應用)是不從橢圓軌道開始，而應當 從中間軌道著手工作。另一個重要的特徵是用直角坐標代替根數，這就不需要根據橢圓根數進行攝動函數的展開。在普遍地用於曆書計算的Brown理論中有 310個不同週期的月行差． 鑒於當作變數看待密切根數在天體力學中的重要性，可以建立變數為橢圓密切根數的新的微分方程組，這樣得到的等價於Delauney系統的方程組，構成了Lagrange方程。 在攝動理論中，級數的收斂性是及其重要的，如果收斂，還要對其收斂速度提出要求。稱為Delaunay變數的正則變數，在月球理論的發展中非常重要，而且仍然是用於攝動問題最有效的變數組之一。密切根數常用於描述天體的受攝運動，其優點是：幾何意義明晰而簡單，同時變化又小。 Delaunay的方法用於月球，被Tisserand推廣到行星情況。 考察三體問題(其中第三體的質量可忽略)的攝動函數R。用密切變數表示的攝動函數的進一步值得注意的性質是，我們可將其展成關於一個小參數的快速收斂級 數。在行星攝動的情況下，攝動函數依賴於行星的質量。同太陽的質量相比，行星的質量是很小的量。行星的非球形攝動也可展成用小參數表示的快速收斂級數。顯 然，同微分式一樣，攝動方程的解也將依賴於一個或幾個小參數。通常，實際工作總是用同樣的小參數進行解的展開，並略去超過一定階數的項。 但是， Poincare第一次證明了這種方法實際上是合理的。（這是常微分方程中Cauchy存在定理的推廣，不要忘了，Poincare同時是一個微分方程的大師，不僅在定量計算上層層突破，更創立了永垂不朽的微分方程定性理論） 根據Delaunay-Tisserand定理，形式解是以Fourier級數的形式構成的，級數中具有幾個與時間有關的線性參量和常係數，或者還有一個 時間的線性函數．值得注意的是，雖然這些級數通常是發散的和被截斷的，卻仍然可以在有限的時間間隔內作為解的一種運算式。 面對繁複的計算，人們仍然無法解決著名的小分母問題，當年Laplace“證明”了太陽系的穩定性，但是他只能後推900年，對於幾十億年齡的太陽系來 說，這不過是彈指一揮間。太陽系是否穩定成為“杞人憂天”的天文學版。1859年著名數學家Dirichlet曾經宣稱自己解決了這個問題，但是半年後他 去世了，人們也沒有找到他的證明。 後來瑞典國王Oskar二世懸賞解決這個問題，題目是《太陽系穩定嗎？》，這是一個n體問題。他委託著名數學家Weistrass負責評審來稿。年輕的 Poincare參加了這個競賽，他想通過這個競賽來磨自己鋒利的劍。上面扯了那麼多月球的東西，現在可以接下去講了。 Hill研究月球時所採用的模型被 Poincare採用，他通過複雜的計算後，發現小參數展開等傳統方法不足以解決這個問題，他開始應用自己正在創立的常微分方程定性理論來分析軌道的大範 圍性質，這個課題的深入研究也直接刺激他後來對組合拓撲學的創立，因為積分曲線的大範圍特性是個拓撲問題。通過定量計算和定性分析的完美結合， Poincare瞥見了確定性系統的內在隨機性，這個偉大的發現沒有被當時的他認真看待，他或許一時無法相信自己的驚人發現。經過整整三年的努力，他決定 收工。在最後，他斷定這個問題無法完全解決，或者說他證明了三體運動沒有解析解。由於這次競賽是匿名投稿，必須在文章前面寫一句箴言，想起童年時就醉心 於浩瀚星空，Poincare寫了一句：繁星無法超越。 他的論文獲獎了。但是後來檢查出錯誤了，他只好又花了幾個月時間糾正錯誤。這次，他終於認清楚自己上次發現的確定性系統中蘊涵的內在隨機性。他時在巴黎的 街頭散步時靈感閃現的。Poincare的很多重要成果時在邊散步邊思考時得出得，有時候是不讓自己思考卻偏偏閃出苦思冥想無法索解的答案。這次是後一種情況。 三體運動的研究就這樣告一段落，為了收回錯誤的版本在把正確的版本重印，他不僅把獎金全部搭進去而且自己還倒貼了一些錢。不過，人類數學和天體力學從他的虧本研究中獲得無盡的好處與恩惠。先寫到這裏，有空繼續寫續篇。天都亮了，又是一夜無眠。